Cuerpo de descomposición

En álgebra abstracta, se puede considerar el cuerpo de descomposición de un polinomio (o familia de polinomios) o de un cuerpo.

Cuerpo de descomposición de un polinomio

Dado un cuerpo ${\displaystyle K}$, y un polinomio no constante ${\displaystyle p(X)\in K[X]}$ (con coeficientes en ${\displaystyle K}$) de grado ${\displaystyle n>0}$, se define el cuerpo de descomposición de ${\displaystyle p}$ como un cuerpo ${\displaystyle E_{p}}$ que cumple:

• Que el polinomio ${\displaystyle p(X)}$ descompone completamente en ${\displaystyle E_{p}}$, es decir, que se puede expresar ${\displaystyle p(X)}$ como

${\displaystyle p(X)=\alpha \prod _{i=1}^{n}(X-\alpha _{i})}$, con ${\displaystyle \alpha \in K,\alpha _{i}\in E_{p}.}$

• Que el cuerpo sea minimal con la propiedad anterior.

Es decir, el cuerpo de descomposición es el que resulta de adjuntar a ${\displaystyle K}$ todas las raíces del polinomio ${\displaystyle p(X)}$:

${\displaystyle E_{p}=K(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$.

Cuerpo de descomposición de una familia de polinomios

El cuerpo de descomposición de una familia de polinomios ${\displaystyle T\subseteq K[X]}$ es, análogamente a lo anteriormente expuesto, el cuerpo minimal en el que descomponen completamente todos los polinomios ${\displaystyle p(X)\in T\subseteq K[X]}$.

Cuerpo de descomposición de un cuerpo

Dado un cuerpo ${\displaystyle K}$, el cuerpo de descomposición de ${\displaystyle K}$ es el cuerpo de descomposición de la familia de polinomios ${\displaystyle K[X];}$ es decir, el cuerpo que contiene todas las raíces de todos los polinomios con coeficientes en ${\displaystyle K.}$

En este caso se le llama clausura algebraica de ${\displaystyle K}$ y se le denota por ${\displaystyle {\bar {K}}}$.

Se cumple que cualquier cuerpo Ω algebraicamente cerrado que contenga a ${\displaystyle K}$, también contiene a ${\displaystyle {\bar {K}}}$:

${\displaystyle \forall \,\Omega {\mbox{ algebr. cerrado, }}K\subseteq \Omega \Rightarrow K\subseteq {\bar {K}}\subseteq \Omega }$

Véase también

• Cuerpo de ruptura

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Splitting field». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Splitting Field en PlanetMath.